Un sistema de referencia para la representacion de curvas planas no era conocido en la matematica griega clasica ni posteriormente durante muchos siglos.
Pero si eran bien conocidas por los matematicos griegos, todas las propiedades metricas y su representacion grafica de las curvas clasicas llamadas conicas es decir la elipse , la hiperbola y la parabola , asi como todo tipo de poligonos, la circunferencia por supuesto y un buen numero de curvas mecanicas que veremos mas adelante .

Es a finales del siglo XVI cuando surge la figura del genio frances René Descartes, también llamado Renatus Cartesius (en escritura latina) (nacido en La Haye en Touraine, Turena, el 31 de marzo de 1596-Estocolmo, muerto en Suecia, el 11 de febrero de 1650), fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los epígonos con luz propia en el umbral de la revolución científica.
Es el que de forma oficial formula la famosa frase Cogito ergo sum que traducido significa Pienso luego existo, aunque parece ser que esta famosa frase es casi copiada de la original del medico español Antonio Gómez Pereira en 1554, «Conozco que yo conozco algo. Todo lo que conoce es: Luego yo soy», (Nosco me aliquid noscere: at quidquid noscit, est: ergo ego sum).
Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Es Descartes el que inventa un sencillo y genial sistema de referencia para la representacion de cualquier curva plana, el llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano , en honor a su nombre.
Aplicando este sistema de referencia se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion analitica correspondiente y viceversa, es decir dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

En realidad el sistema cartesiano esta formado por dos rectas llamadas ejes que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas, dependiendo de si las rectas se cortan ortogonalmente u oblicuamente, tendremos un sistema de coordenadas rectangulares o un sistema de coordenadas oblicuo.
Actualmente se denomina al primero como un    Sistema de referencia ortonormal   que significa que las dos rectas son perpendiculares y los vectores i y j sobre cada eje son unitarios

Por tanto nace primero el genial sistema de referencia cartesiano y posteriormente algunos otros sistemas de representacion grafica.

Posteriormente surge otro tipo de sistema de referencia mas sofisticado pero muy utilizado en la vida cotidiana por ejemplo la navegacion y en todas las ingenierias, nos referimos por supuesto al sistema de referencia polar.

La eleccion de un sistema de referencia depende del tipo de curva plana y de su ecuacion analitica que la representa del mismo modo segun sea la ecuacion analitica de la curva elegiremos uno de los dos sistemas en cuestion

El cambio de un sistema de referencia al otro es siempe posible mediante unas formulas sencillas llamadas formulas de cambio del sistema de referencia.

Veamos a continuacion cada uno de los sistemas de referencia cartesianos y polares, asi como las formulas de paso de un sistema al otro

      1. Sistema de referencia cartesiano rectangular y oblicuo

El eje horizontal se denomina eje de abscisas o eje de las x

El eje vertical se denomina eje de ordenasas o eje de las y

El punto donde se cortan los ejes, O (0, 0 ) se llama origen de coordenadas

Cualquier punto P del plano queda univocamente determinado por sus dos coordenadas P( x , y )

La primera coordenada x se llama abscisa

La segunda coordenada y se llama ordenada

      2. Sistema de referencia polar

Cualquier punto P del plano queda univocamente determinado por sus dos coordenadas P(r , θ )

El semieje se denomina eje polar

El punto O (0, 0 ) se llama polo

La primera coordenada r se llama distancia polar, verificando r>0

La segunda coordenada θ se llama coordenada angular, el angulo θ positivo o negativo

el angulo θ es positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj

el angulo θ es negativo en el sentido de las agujas del reloj

      3. Cambio de cartesianas a polares

Veamos las sencillas formulas de paso del sistema de coordenadas cartesianas al sistema polar

      4. Cambio de polares a cartesianas

Veamos las sencillas formulas de paso del sistema polar al sistema de coordenadas cartesianas

Las curvas planas tambien llamadas curvas en 2D, son las curvas mas sencillas de representar graficamente, debido a que se pueden representar en un plano.
En este apartado de curvas planas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas como las conicas y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, que en esta apartado es bidimensional, se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

La forma mas sencilla de expresion de una curva plana viene dada por su expresion o ecuacion explicita, que corresponde a una funcion y=f(x) real de variable real, siendo x∈R la variable real independiente .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva plana dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas planas bidimensionales , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva plana se define como el conjunto siguiente G(f) , subconjunto de RxR

                                      G(f)={(x,y)∈ RxR   /   y=f(x)∈R}

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva plana o bidimensional:

      1. La funcion explicita y=f(x) es una funcion que toma valores reales f(x)∈R siendo la variable real independiente x∈R

f:R ---> R

      2. La funcion implicita f(x,y)=0 esta definida por las dos variables reales e independientes independientes, x∈ R, y ∈ R

f:RxR ---> R

      3. La funcion parametrica x=x(t), y=y(t) esta definida por la la variable real independiente t∈R, verificando ( x(t),y(t))∈RxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R

      4. La funcion polar explicita ρ=ρ(ω) esta definida por la variable real independiente   ω∈R

ρ(ω):R ---> R   

      5. La funcion polar implicita ρ(ρ,ω)=0 esta definida por las dos variables reales independientes   t∈R ,   r∈R

ρ(ρ,ω):RxR ---> R   

      4. La funcion polar parmetrica ρ=ρ(t) ,ω=ω(t) esta definida por la variable real independiente   t∈R

ρ(t):R ---> R    ωt):R ---> R

Las curvas planas tambien llamadas curvas en 2D, son las curvas mas sencillas de representar graficamente, debido a que se pueden representar en un plano.
En este apartado de curvas planas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas como las conicas y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, que en esta apartado es bidimensional, se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

La forma mas sencilla de expresion de una curva plana viene dada por su expresion o ecuacion explicita, que corresponde a una funcion y=f(x) real de variable real, siendo x∈R la variable real independiente .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva plana dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas planas o bidimensionales , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva plana se define como el conjunto siguiente G(f) , subconjunto de RxR

                                      G(f)={(x,y)∈ RxR   /   y=f(x)∈R}

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva plana o bidimensional:

      1. La funcion explicita y=f(x) es una funcion que toma valores reales f(x)∈R siendo la variable real independiente x∈R

f:R ---> R

      2. La funcion implicita f(x,y)=0 esta definida por las dos variables reales e independientes independientes, x∈ R, y ∈ R

f:RxR ---> R

      3. La funcion parametrica x=x(t), y=y(t) esta definida por la la variable real independiente t∈R, verificando ( x(t),y(t))∈RxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R

      4. La funcion polar explicita ρ=ρ(ω) esta definida por la variable real independiente   ω∈R

ρ(ω):R ---> R   

      5. La funcion polar implicita ρ(ρ,ω)=0 esta definida por las dos variables reales independientes   t∈R ,   r∈R

ρ(ρ,ω):RxR ---> R   

      4. La funcion polar parmetrica ρ=ρ(t) ,ω=ω(t) esta definida por la variable real independiente   t∈R

ρ(t):R ---> R    ωt):R ---> R

Las curvas alabeadas tambien llamadas curvas en 3D, son obviamente mas dificiles de represntar graficamente, debido a que la representacion de una figura en 3D resulta siempre mas compleja.
En este apartado de curvas albeadas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas tridimensionales como las helices y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva y fructifera rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, en este caso es tridimensional , se cumple que toda curva tridimensional tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano tridimensional , dando lugar a una curva alabeada o tridimensional.

La forma mas sencilla de expresion de una curva alabeada o tridimensional viene dada por sus ecuaciones implicitas , del tipo f(x,y,z)=0 , g(x,y,z)=0 cada una de ellas es una superficie cuya interseccion es la curva alabeada .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva alabeada dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva tridimensional mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas alabeadas , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva tridimensional sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva alabeada se define como el conjunto siguiente G(curva alabeada), subconjunto de RxRxR

                                      G(curva alabeada)={(x,y,z)∈ RxRxR   /   f(x,y,z)=0,  g(x,y,z)=0 }

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva alabeada o tridimensional:

      1. Las ecuaciones implicitas f(x,y,z)=0 , g(x,y,z)=0 representan dos superficies cuya interseccion es la curva alabeada.

      2. Las ecuaciones implicitas f(x,y)=0 ,f(x,y)=0 representan dos cilindros cuya interseccion es la curva alabeada.

      3. Las ecuaciones parametricas x=x(t), y=y(t) ,z=z(t) siendo t∈R ,    ( x(t),y(t),z(t))∈RxRxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R    z(t):R ---> R

Las curvas planas expresadas mediante una funcion o expresion explicita y=f(x) son las mas sencillas de estudiar y de representar graficamente , por tanto es conveniente efectuar un estudio sistematico de las mismas por lo que es necesario efectuar previamente una clasificacion de las mismas dependiendo de su formula matematica explicita.

Clasificacion de las funciones explicitas y=f(x)

        

        

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

      1. Metodos generales para el estudio de la convergencia

Los metodos generales se clasifican de la siguiente manera

       1.1    Metodo por descomposicion

       1.2    Metodo por cambio de variable

       1.3    Metodo por integracion por partes

      2. Criterio de Cauchy

      3. Criterio de convergencia absoluta

      4. Criterios de convergencia para funciones positivas

       4.1    Criterio de acotacion

       4.2    Criterios de comparacion

       4.2.1    Primer criterio

       4.2.2    Segundo criterio

       4.2.3    Tercer criterio

       4.2.4    Cuarto criterio

       5. Criterio integral

       6. Criterio de Abel

             1. Metodo por descomposicion

    Este metodo equivale a decir que la integral impropia de una suma o resta de integrales impropias convergentes es tambien una integral impropia convergente y que la integral impropia resultante es la suma o resta de las integrales impropias de partida.
Es decir la integral impropia se comporta algebraicamente como un operador lineal.

             2.    Metodo por cambio de variable

    Este metodo consiste en aplicar algun cambio de variable conveniente de forma que la integral impropia de la cual se esta analizando su convergencia se transforme por dicho cambio de variable en otra integral impropia mas sencilla para el posterior estudio de su convergencia.

             3.    Metodo de integracion por partes

    Este metodo consiste en aplicar el metodo de integracion por partes de forma conveniente, pero se ve algo complicado en su aplicacion práctica.

             1.  Integrales impropias de primera especie

             2.  Integrales impropias de segunda especie

             1. Definicion de absolutamente convergente

           

             2.    Definicion de condicionalmente convergente

          

             3.    Definicion de incondicionalmente convergente

          

             3.    Teoremas: Criterio de convergencia absoluta

          3.1   Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente

          

           3.2   Incondicionalmente convergente equivale a absolutamente convergente

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1.  Criterio de convergencia integral

             

             1.  Criterio de convergencia de Abel

             

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