1. Población

Es el conjunto total de elementos que estamos estudiando. Denominaremos con m al número de elementos de este conjunto.

2. Muestra

Es un subconjunto de la población. Denominaremos con n al número de elementos que componen la muestra.
Los diferentes tipos de muestra vienen determinados por dos aspectos:

a) Orden

Es decir, si es importante que los elementos de la muestra aparezcan ordenados o no.

b)Repetición

La posibilidad de repetición o no de los elementos.

1.   Factorial de un numero

Factorial del numero natural n: Es el producto de los “n” factores naturales consecutivos desde “n” hasta 1.
El factorial de un número se denota por n! y se define como :
  
  

2.   Numero combinatorio

Numero combinatorio es el numero natural que se representa con los simbolos o tambien .
Se lee numero combinatorio m sobre n y se define :
   =

Propiedades de los numeros combinatorios

2.1   numero combinatorio sobre cero
  

2.2   numeros combinatorios complementarios
  

2.3   suma de numeros combinatorios, formula de Stieffel
  

1.   No   entran todos los elementos.
2.   Si   importa el orden.
3.   No   se repiten los elementos.

1.   No  entran todos los elementos si m < n.
2.   Si   pueden entrar todos los elementos si m ≥ n.
3.   Si   importa el orden.
4.   Si   se repiten los elementos.

1.   Si  entran todos los elementos
2.   Si   importa el orden.
3.   No  se repiten los elementos.

1.   Si  entran todos los elementos
2.   Si   importa el orden.
3.   Si  se repiten los elementos.

1.   No   entran todos los elementos.
2.   No   importa el orden.
3.   No   se repiten los elementos.

1.   ¿No ?  entran todos los elementos.
2.   No   importa el orden.
3.   Si   se repiten los elementos.

Propiedades del triangulo de Pascal o de Tartaglia

1. El número superior es un 1, la segunda fila corresponde a los números combinatorios de 1, la tercera de 2, la cuarta de 3 y así sucesivamente.
2. Todas las filas empiezan y acaban en 1
     
3. Todas las filas son simetricas
     
4. Cada número se obtiene sumando los dos que están situados sobre él.
     
5. el Triangulo de Tartaglia es muy util para calcular los coeficientes del binomio de Newton

Propiedades del Binomio de Newton

1. Los coeficientes son números combinatorios que corresponden a la fila enésima del triángulo de Tartaglia.
   
   



2. El número de términos es n+1



3. En el desarrollo del binomio los exponentes de a van disminuyendo, de uno en uno, de n a cero; y los exponentes de b van aumentando, de uno en uno, de cero a n, de tal manera que la suma de los exponentes de a y de b en cada término es igual a n.



4. En el caso que uno de los términos del binomio sea negativo, se alternan los signos positivos y negativos.

Propiedades de los numeros combinatorios generalizados

1   numero combinatorio de n    sobre       siendo   
  

Propiedades de la potencia de un polinomio

1. Los coeficientes son.....
   
   



2. El número de términos es .....



3. En el desarrollo del polinomio los exponentes.......



4. En el caso que uno de los términos del polinomio sea negativo,.....

inicio formulario de matematicas

01.- Conceptos fundamentales en probabilidades

1. Experimento, fenomeno o suceso

Es todo procedimiento, metodo o mecanismo que permite obtener algun resultado o conclusion .

2. Resultado

Es la conclusion o tesis al realizar cualquier experimento.

Hipotesis

Son las condiciones iniciales bajo las cuales se realiza un determinado experimento .

Prueba

Prueba o demostracion es el acto o hecho concreto mediante el cual se realiza el experimento .

1. Determinista:

Un experimento es Determinista cuando el resultado de dicho experimento es conocido antes de realizar la prueba del mismo. Es decir los resultados son     predecibles   antes de realizar el experimento.
Los experimentos deterministas se rigen por las leyes de la fisica, quimica, matematica.....
El modelo matematico a estudiar en un experimento determinista es el siguiente:

  EXPERIMENTO    DETERMINISTA    +   HIPOTESIS    +     PRUEBA  =   RESULTADO SI PREDECIBLE

2. Aleatorio

Un experimento es aleatorio cuando el resultado de dicho experimento no es posible conocerlo antes de realizar la prueba del mismo, aun cuando la prueba se realice bajo las mismas condiciones inciales o hipotesis. Es decir los resultados son   impredecibles   antes de realizar el experimento. Los experimentos aleatorios no se rigen por ninguna ley cientifica conocida . Corresponde a la Estadistica y La Teoria de Probabilidades el estudio de estos fenomenos tan importantes en nuestro entorno.
El modelo matematico a estudiar en todo experimento aleatorio es el siguiente:

  EXPERIMENTO    ALEATORIO    +    HIPOTESIS    +    PRUEBA   =   RESULTADO NO PREDECIBLE

1.   Espacio muestral

Es el conjunto de todos los sucesos posibles que pueden ocurrir en un determinado experimento aleatorio.
El espacio muestral se representa con la notacion siguiente :
      

2.   Suceso elemental

Es cualquier resultado obtenido en un determinado experimento aleatorio. Se representa con la letra "r".
Es cada uno de los elementos del espacio muestral
      

3.  Suceso seguro

Suceso seguro o suceso universal es el que siempre sucede y es el espacio muestral. Esta formado por todos los resultados posibles
      

4.   Suceso imposible

Es el suceso que no ocurre nunca por no tener ningun elemento y por tanto es el conjunto vacio que se representa con la letra. 

5.   Suceso compuesto

Es cualquier subconjunto   A   del espacio muestral   
      

6.   Suceso contrario

Suceso contrario del suceso   A   es el suceso complementario de   A   y se representa por el simbolo:        
Cuando se realiza el suceso     A   no se realiza el suceso contrario    y viceversa.
Se define de la siguiente manera:
      
Por tanto se verifica que
      
      

7.   Subsuceso

Es cualquier suceso  B  subconjunto de otro suceso   A  
     

8.   Sucesos compatibles

Dos sucesos   A   y   B  son sucesos compatibles cuando tienen algun suceso elemental comun
     

9.   Sucesos incompatibles

Dos sucesos   A   y   B  son sucesos incompatibles cuando no tienen ningun suceso elemental comun
     
Corolario : un suceso A y el suceso contario         son incompatibles.
Los sucesos incompatibles son por tanto conjuntos disjuntos

10.   Sucesos dependientes

Dos sucesos   A   y   B  son sucesos dependientes cuando la realizacion de uno de ellos   depende  de la realizacion o no del otro suceso
Ya veremos que la probabilidad de uno de los sucesos estara en funcion de que el otro suceso se haya realizado o no

11.   Sucesos independientes

Dos sucesos   A y   B  son sucesos independientes cuando la realizacion de uno de ellos   no depende  de la realizacion o no del otro suceso
Ya veremos que la probabilidad de uno de los sucesos no estara en funcion de que el otro suceso se haya realizado o no

12.   Espacio de sucesos

Se llama espacio de sucesos al conjunto formado por todos los sucesos posibles en un determinado experimento aleatorio.
Si E es el espacio muestral entonces el espacio de sucesos es  P(E)   .
Se define matematicamente como :
     

13.   Sistema completo de sucesos

Llamamos sistema completo de sucesos de un espacio muestral   E   a una familia de sucesos   { A₁, A₂, ...,A_n }  que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos:    A_iA_j = Ø

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro:   

       

1.   Union de sucesos

la union de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos de los sucesos A ó B
         

2.   Interseccion de sucesos

La interseccion de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos de los sucesos A y B
         

3.   Diferencia de sucesos

La diferencia de los sucesos A y B es el suceso formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A pero que no pertenecen al conjunto B
         

4.   Complementacion de sucesos

A cada suceso  A   del espacio de sucesos     P (E)    se le asocia otro suceso tambien del mismo espacio de sucesos llamado el suceso contrario que se representa con la notacion siguiente        
      

5.   Diferencia simetrica de sucesos

La diferencia simetrica de los sucesos A y B es el suceso formado por los elementos que pertenecen o bien al suceso A ó bien al suceso B pero no pertenecen a ambos a la vez y se representa con la notacion        
      

6.   Propiedades de la union e interseccion de sucesos

La union e interseccion de sucesos tienen las siguientes propiedades:

Propiedades	Unión	Intersección
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Idempotente
4. Simplificación
5. Distributiva
6. Elemento neutro
7. Absorción

A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de Boole.
Por tanto el espacio de sucesos    P(E)    dotado de las dos leyes de composicion internas, union e interseccion tiene estructura algebraica de    algebra de sucesos   y se representa con el simbolo      
  

7.   Propiedades de la complementacion de sucesos

La complementacion de sucesos tiene las siguientes propiedades:

En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de dualidad o tambien mas usualmente llamadas como leyes de De Morgan:

• El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
  
  

• El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:
  
  

• Leyes de complementariedad:
  
  

• Propiedad involutiva :
  
  

• Complementariedad entre los elementos neutros :
  
  

• Relacion entre complementariedad y diferencia de sucesos :
  
  

8.   Propiedades de la diferencia de sucesos

La diferencia de sucesos tiene las siguientes propiedades:

•       
•   
•   

9.   Propiedades de la diferencia simetrica de sucesos

La diferencia simetrica de sucesos tiene las siguientes propiedades:

•   
•   
•   

Dados dos sucesos, A y B, mediante los diagramas de Venn se pueden visualizar las operaciones definidas en el capitulo anterior:

Unión		es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B.
Intersección		es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y de B.
Diferencia		es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Suceso contrario		El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.
diferencia simetrica		es el suceso formado por todos los elementos de A y todos los elementos de B pero no a la vez de A y de B .

05.- Conceptos axiomaticos de algebra de Boole de sucesos y de -álgebra de sucesos

1.   Algebra de Boole de sucesos

Sea un espacio muestral   E   se dice que la clase       subconjunto del conjunto    P(E)   de las partes de    E    es un algebra de Boole de sucesos si y solo si la union finita de sucesos de      tambien pertenece a      y el complementario de cada suceso de       tambien esta en      .
Es decir la clase       es cerrada para las dos operaciones internas union finita y complementariedad
Veamoslo de forma esquematica

1.   -álgebra de sucesos

Sea    una clase no vacía formada por ciertos subconjuntos a los que llamaremos sucesos del espacio muestral   E.
Diremos que esta clase    es un   -álgebra de sucesos  en el espacio muestral   E  si se verifican las dos condiciones siguientes:
1.-  Los sucesos complementarios de aquellos sucesos que están en   también están en    
2.- Las uniones numerables (sean finitas o infinitas) de aquellos sucesos que están en   también están en    .
Esto se puede enunciar axiomaticamente como sigue :

Observación acerca del concepto axiomatico de    -álgebra de sucesos

Podemos observar que la introduccion del concepto de -álgebra en un espacio muestral   E  puede parecer innecesaria a primera vista, ya que es una clase formada por subconjuntos de   E  que verifican ciertas propiedades relativas a la complementariedad y a las uniones finitas que ya verifica de antemano el conjunto denominado   partes de E , es decir el conjunto    P( E )    formado por todos los subconjuntos de  E.

Sin embargo cuando el espacio muestral    E    es infinito no numerable, la estructura del conjunto de las partes   P(E)   puede presentar propiedades extremadamente engorrosas para poder definir en el una probabilidad de manera sencilla . Entonces es más conveniente utilizar como -álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un -álgebra.

Concepto axiomatico de espacio probabilizable

Sea   E un espacio muestral y sea       una  -álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E .
Diremos que el par formado por   ( E , )   es un espacio probabilistico o probabilizable si y solo si:

Concepto axiomatico de espacio de probabilidades

Sea   E  un espacio muestral y sea       una   -álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   -álgebra de sucesos         .
Diremos que la terna formado por    ( E , , p )     es un espacio de probabilidades si y solo si:

Concepto axiomatico de probabilidad

Dado un espacio muestral  E , y un -álgebra de sucesos sobre él,diremos que es una probabilidad sobre si las siguientespropiedades (axiomas) son verificadas:

        Axioma-1.

La probabilidad es una función definida sobre y que sólo toma valores positivos comprendidos entre 0 y 1

        Axioma-2.

La probabilidad del suceso seguro es 1

        Axioma-3.

La probabilidad de la unión numerable de sucesos disjuntos es la suma de sus probabilidades figura( abajo):

  

Figura: El tercer axioma de probabilidad indica que si con , entonces

Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidades

Cuando E es infinito no numerable, la estructura del conjunto P(E) puede presentar propiedades extremadamente engorrosas. Entonces es más conveniente utilizar como -álgebra un subconjunto más pequeño suyo, pero no tanto que no nos permita realizar las operaciones de complementariedad o de uniones finitas que se precisan en la definición de un -álgebra.
Por ejemplo, si realizamos el experimento aleatorio de esperar el tiempo que hace falta para que un átomo de carbono catorce, C¹⁴, se desintegre de modo natural, se tiene que

sin embargo, el -álgebra de sucesos que consideramos no es , que es una clase demasiado compleja para definir sobre sus elementos una medida de probabilidad. En su lugar consideramos el -álgebra formada por todos los intervalos, abiertos o cerrados, y sus uniones finitas

lo que por supuesto incluye a los puntos de , ya que por ejemplo

Este tipo de conjuntos (los intervalos) son los que nos interesan en la práctica, v.g. calcular la probabilidad de que el peso en kilogramos de un niño al nacer esté en el intervalo [2,4].
De esto modo vamos a realizar el siguiente convenio a lo largo del formulario:

Observacion primera: No haremos en general referencia al -álgebra de sucesos más que cuando sea estrictamente necesario. De este modo cuando a partir de ahora se diga `` '', nos referiremos implícitamente a que , donde es un -álgebra de sucesos asociado a E y sobre el que se ha definido la función de probabilidad.

Observacion segunda: Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, entenderemos que el -álgebra de sucesos es por defecto P(E).

Observacion tercera:Si E es un conjunto infinito no numerable como ,, o subconjuntos suyos en forma de intervalos, entenderemos que el -álgebra asociada es la mencionada en el ejemplo anterior, es decir, la formada por todos los intervalos abiertos, cerrados o semi-abiertos (lo que incluye en particular a los puntos), y sus uniones finitas.
De este modo podremos calcular probabilidades como las siguientes:

Concepto clasico de probabilidad ( Regla de Laplace )

Sea   E   espacio muestral y sea   A   un suceso del espacio muestral.
Se define la probabilidad del suceso   A  de la siguiente manera:



En donde para que esta definicion sea correcta deben ser todos los "casos equiprobables" , por este motivo la regla de Laplace el entrar el termino definido en la definicion , tiene una limitacion tan grande y muchas veces su aplicacion es totalmente incorrecta
Card(A)= numero de elementos del suceso A y Card(E) = numero de elementos del espacio muestral E
En este caso hablaremos de espacios muestrales finitos y discretos ademas de equiprobables
m(A)= medida del suceso A , y m(E)= medida del espacio muestral E
Esta medida puede venir expresada en unidades de longitud, de area o de volumen por lo que hablaremos de "probabilidades geometricas"....por cierto en la actualidad totalmente desconocidas lamentablemente

Teorema de la probabilidad total para sucesos incompatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos incompatibles: aditividad finita y aditividad numerable

Aditividad finita

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos incompatibles , es decir disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad finita

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Aditividad numerable

Sean        una familia numerable sucesos del espacio muestral E , tales que son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos        .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades

         

Teorema de la probabilidad total para sucesos compatibles o teorema de la adicion de probabilidades para sucesos compatibles o aditividad fuerte

Sean A y B sucesos del espacio muestral E , tales que A y B son sucesos compatibles , es decir no disjuntos.
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es igual a la suma de sus probabilidades menos la probabilidad de su interseccion

         

Sean        una familia de "n" sucesos del espacio muestral E , tales que son compatibles .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es igual a la suma de sus probabilidades menos la suma de las probalidades de sus intersecciones y etc......

         

Teorema de la probabilidad de la union de sucesos en general: Formula de la subaditividad

Sean A y B sucesos cualesquiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de los sucesos A y B es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas

         

Sean        una familia de "n" sucesos cualequiera del espacio muestral E .
Entonces se verifica que la probabilidad de la union de la familia de sucesos        es menor o igual que la suma de sus probabilidades respectivas.

         

Formula de Poincare

La probabilidad de que entre    n   sucesos   dados de un espacio muestral E se verifiquen exactamente    r    sucesos   , siendo   r=0,1,2,....,n    viene dada por la formula de Poincare:

Teorema fundamental sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea       una   -álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   -álgebra de sucesos         y tambien sea la terna formado por    ( E , , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de       tal que    p(B)>0    y sea la clase      .
Entonces:

1)      

2)      

3)      

4)      

Observación acerca del concepto axiomatico de probabilidad condicionada

Propiedades fundamentales sobre la probabilidad condicionada

Sea   E  un espacio muestral y sea       una   -álgebra de sucesos   en el espacio muestral   E   y sea   p   una probabilidad definida en la   -álgebra de sucesos         y tambien sea la terna formado por    ( E , , p )     el espacio de probabilidades correspondiente.
Sea  B  un suceso de       tal que    p(B)>0    y sea la clase      .
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1)    p(E/B)=1   

2)    p(B/B)=1   

3)      

4)      

5)      

6)      

1.  Definicion: A suceso independiente del suceso B

     

2.  Definicion: A suceso dependiente del suceso B

     

3.   Tautologias sobre la dependencia y la independencia

a)     

b)     

c)     

d)     

e)     

f)     

2.  Definicion generalizada:   { A₁, A₂, ..., A_n } sucesos independientes

     

Definicion de "Sistema completo de sucesos"

Llamamos sistema completo de sucesos de un espacio muestral   E   a una familia de sucesos   { A₁, A₂, ...,A_n }  que cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, es decir disjuntos dos a dos:    A_iA_j = Ø

2. La unión de todos ellos es el suceso seguro:   

Teorema de la probabilidad total o de la suma o adicion de probabilidades (la probabilidad total hace referencia a la union de sucesos)

1)  sucesos condicionados

Sea  { A₁, A₂, ..., A_n } un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A_i).
Entonces la probabilidad   p(B)  del suceso  B  viene dada por la expresión siguiente:

   Corolario:
Como siempre cualquier suceso y su contrario    forman un sistema completo de sucesos se tiene el siguiente corolario muy utilizado en ejercicios:

     

2)  sucesos incompatibles

Sea  { A₁, A₂, ..., A_n } un conjunto de sucesos disjuntos dos a dos es decir incompatibles dos a dos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos y viene dada por la expresión siguiente:

3)  sucesos compatibles

Sea  { A₁, A₂, ..., A_n } un conjunto de sucesos compatibles , es decir no son disjuntos dos a dos todos ellos .
Entonces la probabilidad de la union de todos los sucesos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos menos la suma de las probabilidades de sus intersecciones y etc.etc.....y viene dada por la expresión siguiente:

Teorema de la probabilidad compuesta o del producto o de la multiplicacion de probabilidades
(la probabilidad compuesta hace referencia a la interseccion de sucesos)

1)  sucesos independientes

Sea  { A₁, A₂, ..., A_n } un conjunto de n sucesos independientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades y viene dada por la expresión siguiente:

2)   sucesos dependientes

Sea  { A₁, A₂, ..., A_n } un conjunto de n sucesos dependientes.
Entonces la probabilidad de la interseccion de todos ellos es igual al producto de sus probabilidades condicionadas y viene dada por la expresión siguiente:

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publicó una memoria en la que aparece, por vez primera, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de teorema de Bayes o tambien como formula de Bayes.

Teorema o formula de Bayes

Sea   A₁, A₂, ...,A_n   un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales   P(B/A_i) .
Entonces la probabilidad   P(A_i/B)   viene dada por la expresión conocida como formula de Bayes:

Las probabilidades  p(A_i)   se denominan probabilidades a "priori" o de las "causas o hipótesis".

Las probabilidades   p(A_i/B)  se denominan probabilidades a "posteriori".

Las probabilidades  p(B/A_i)  se denominan verosimilitudes.

Corolario del Teorema o formula de Bayes

Sea          un sistema completo de sucesos del espacio muestral   E   formado por un suceso y el suceso contrario, tales que la probabilidad de cada uno de ellos      y      es conocida y distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales          . y      
Entonces las probabilidades             y               vienen dadas como corolario por la formula de Bayes:

En los problemas relacionados con la probabilidad, y en particular con la probabilidad condicionada, así como con la probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que, con la información del problema, se construya una tabla de contingencia o un diagrama de árbol.

En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del problema.

• Conversión de una tabla en diagrama de árbol

  Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o más sucesos.

  Tabla de contingencia	A		TOTAL
  B	P( A B )	P( B )	P( B )
  	P( A )	P( )	P( )
  TOTAL	P( A )	P( )	1

  
  

  En el caso de los sucesos A, , B y , expresados en frecuencias absolutas, relativas o probabilidades la tabla, adopta la forma adjunta.

  
  
  
  

  Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .

  

  Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:

  
  

  Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

  En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

  Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

• Conversión de un diagrama en arbol en tabla de contingencia

  De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia equivalente si más que utilizar la expresión

  P( BA ) = P( B/A ) · P( A ),
  

  para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.

1.   Espacio muestral finito

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito    si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural,es decir        .
En estos casos la      que es un   -álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen.
Veamoslo de forma esquematica

2.   Espacio muestral finito equiprobable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral finito equiprobable   si es un conjunto    E    formado por un numero finito de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=n   siendo    n   un numero natural es decir        , y ademas la probabilidad de cada suceso elemental toma siempre el mismo valor .
En estos casos la      que es un   -álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=   y la probabilidad de cada suceso es la suma de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen y por tanto es el inverso del numero de elementos que lo componen.
Veamoslo de forma esquematica

      

3.  Espacio muestral numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto    Card(E)=Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la      que es un   -álgebra de sucesos  es el conjunto de las partes del conjunto    E    es decir    P(E)=   y la probabilidad de cada suceso es la suma finita o infinita de las probabilidades de los sucesos elementales que la componen .
Veamoslo de forma esquematica

      

4.   Espacio muestral no numerable

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la      que es un   -álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir       y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la definicion de la probabilidad asociada.
Veamoslo de forma esquematica

      

5.   Espacio muestral no numerable uniforme

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral no numerable y uniforme   si es un conjunto    E    formado por una cantidad no numerable de elementos es decir el cardinal de dicho conjunto verifica    Card(E)>Card(N)   siendo    N    el conjunto de los numeros naturales        N={ 0, 1, 2, ...} .
En estos casos la      que es un   -álgebra de sucesos  es un subconjunto del conjunto de las partes del conjunto    E    es decir       y la probabilidad de cada suceso va en funcion de la medida uniforme de dicho conjunto. La medida puede ser longitud, superficie, volumen, etc. Esto da lugar a las olvidadas probabilidades geometricas tan interesantes
Veamoslo de forma esquematica

      

6.   Espacio muestral discreto

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral discreto    si es un espacio muestral finito o numerable .

7.   Espacio muestral continuo

Un espacio muestral   E   se dice que es un    espacio muestral continuo    si es un espacio muestral no numerable .

inicio formulario de matematicas

      1. La funcion explicita y=f(x) esta definida en un intervalo compacto I=[a,b]

El intervalo compacto I=[a,b] es un intervado cerrado y acotado siendo a y b numeros reales cualesquiera.

      2. La funcion explicita y=f(x) esta acotada en dicho intervalo I=[a,b]

El recinto de integracion de la funcion y=f(x) es finito estando el recinto limitado por el eje de abscisas, la grafica de la funcion y=f(x) y las dos ordenadas en los extremos x=a , x= b, por tanto el recinto de integracion es un trapecio mixtilineo.

DEFINICION de integral definida

La integral definida propia mide el area de la superficie del trapecio mixtilineo formado por los tres lados rectilineos que son el primero el segmento horizontal de extremos los puntos de coordenadas (a,0) y (b,0) , el segundo segmento vertical de extremos los puntos de coordenadas (a,0) y (a,f(a)) y el tercero tambien vertical de extremos los puntos de coordenadas (b,0) y (b,f(b)), y el cuarto es el lado curvilineo dado por la funcion y=f(x) de extremos los puntos de coordenadas (a,f(a)) y (b,f(b)).
En la figura es el recinto coloreado en rojo .

DEFINICION de funcion primitiva

TEOREMA regla de Barrow

   1. El intervalo I deje de ser compacto

entonces el intervalo I o bien no es cerrado o bien no es acotado o ambas cosas a la vez , se pueden agrupar en los siguientes tres casos:

       1.1    No   acotado y Si   cerrado:    I=[a,+∞)    I=(-∞,b]   I=(-∞ , +∞)

       1.2    Si   acotado y   No   cerrado:   I=[a,b)    I=(a,b]    I=(a,b)

       1.3    No   acotado y No   cerrado:    I=(a, +∞)    I=(-∞,b)

   2. la funcion y=f(x) no esta acotada en el intervalo I

      1.   integrales impropias de primera especie

      2.   integrales impropias de segunda especie

      3.   integrales impropias de tercera especie

      1.  Definicion integral impropia de primera especie

        

      2.  Definicion integral impropia de segunda especie

        

      3.  Definicion integral impropia de tercera especie

        

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

      1. Metodos generales para el estudio de la convergencia

Los metodos generales se clasifican de la siguiente manera

       1.1    Metodo por descomposicion

       1.2    Metodo por cambio de variable

       1.3    Metodo por integracion por partes

      2. Criterio de Cauchy

      3. Criterio de convergencia absoluta

      4. Criterios de convergencia para funciones positivas

       4.1    Criterio de acotacion

       4.2    Criterios de comparacion

       4.2.1    Primer criterio

       4.2.2    Segundo criterio

       4.2.3    Tercer criterio

       4.2.4    Cuarto criterio

       5. Criterio integral

       6. Criterio de Abel

             1. Metodo por descomposicion

    Este metodo equivale a decir que la integral impropia de una suma o resta de integrales impropias convergentes es tambien una integral impropia convergente y que la integral impropia resultante es la suma o resta de las integrales impropias de partida.
Es decir la integral impropia se comporta algebraicamente como un operador lineal.

             2.    Metodo por cambio de variable

    Este metodo consiste en aplicar algun cambio de variable conveniente de forma que la integral impropia de la cual se esta analizando su convergencia se transforme por dicho cambio de variable en otra integral impropia mas sencilla para el posterior estudio de su convergencia.

             3.    Metodo de integracion por partes

    Este metodo consiste en aplicar el metodo de integracion por partes de forma conveniente, pero se ve algo complicado en su aplicacion práctica.

             1.  Integrales impropias de primera especie

             2.  Integrales impropias de segunda especie

             1. Definicion de absolutamente convergente

           

             2.    Definicion de condicionalmente convergente

          

             3.    Definicion de incondicionalmente convergente

          

             3.    Teoremas: Criterio de convergencia absoluta

          3.1   Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente

          

           3.2   Incondicionalmente convergente equivale a absolutamente convergente

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1.  Criterio de convergencia integral

             

             1.  Criterio de convergencia de Abel

             

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Un sistema de referencia para la representacion de curvas planas no era conocido en la matematica griega clasica ni posteriormente durante muchos siglos.
Pero si eran bien conocidas por los matematicos griegos, todas las propiedades metricas y su representacion grafica de las curvas clasicas llamadas conicas es decir la elipse , la hiperbola y la parabola , asi como todo tipo de poligonos, la circunferencia por supuesto y un buen numero de curvas mecanicas que veremos mas adelante .

Es a finales del siglo XVI cuando surge la figura del genio frances René Descartes, también llamado Renatus Cartesius (en escritura latina) (nacido en La Haye en Touraine, Turena, el 31 de marzo de 1596-Estocolmo, muerto en Suecia, el 11 de febrero de 1650), fue un filósofo, matemático y físico francés, considerado como el padre de la geometría analítica y de la filosofía moderna, así como uno de los epígonos con luz propia en el umbral de la revolución científica.
Es el que de forma oficial formula la famosa frase Cogito ergo sum que traducido significa Pienso luego existo, aunque parece ser que esta famosa frase es casi copiada de la original del medico español Antonio Gómez Pereira en 1554, «Conozco que yo conozco algo. Todo lo que conoce es: Luego yo soy», (Nosco me aliquid noscere: at quidquid noscit, est: ergo ego sum).
Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Es Descartes el que inventa un sencillo y genial sistema de referencia para la representacion de cualquier curva plana, el llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano , en honor a su nombre.
Aplicando este sistema de referencia se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion analitica correspondiente y viceversa, es decir dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

En realidad el sistema cartesiano esta formado por dos rectas llamadas ejes que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas, dependiendo de si las rectas se cortan ortogonalmente u oblicuamente, tendremos un sistema de coordenadas rectangulares o un sistema de coordenadas oblicuo.
Actualmente se denomina al primero como un    Sistema de referencia ortonormal   que significa que las dos rectas son perpendiculares y los vectores i y j sobre cada eje son unitarios

Por tanto nace primero el genial sistema de referencia cartesiano y posteriormente algunos otros sistemas de representacion grafica.

Posteriormente surge otro tipo de sistema de referencia mas sofisticado pero muy utilizado en la vida cotidiana por ejemplo la navegacion y en todas las ingenierias, nos referimos por supuesto al sistema de referencia polar.

La eleccion de un sistema de referencia depende del tipo de curva plana y de su ecuacion analitica que la representa del mismo modo segun sea la ecuacion analitica de la curva elegiremos uno de los dos sistemas en cuestion

El cambio de un sistema de referencia al otro es siempe posible mediante unas formulas sencillas llamadas formulas de cambio del sistema de referencia.

Veamos a continuacion cada uno de los sistemas de referencia cartesianos y polares, asi como las formulas de paso de un sistema al otro

      1. Sistema de referencia cartesiano rectangular y oblicuo

El eje horizontal se denomina eje de abscisas o eje de las x

El eje vertical se denomina eje de ordenasas o eje de las y

El punto donde se cortan los ejes, O (0, 0 ) se llama origen de coordenadas

Cualquier punto P del plano queda univocamente determinado por sus dos coordenadas P( x , y )

La primera coordenada x se llama abscisa

La segunda coordenada y se llama ordenada

      2. Sistema de referencia polar

Cualquier punto P del plano queda univocamente determinado por sus dos coordenadas P(r , θ )

El semieje se denomina eje polar

El punto O (0, 0 ) se llama polo

La primera coordenada r se llama distancia polar, verificando r>0

La segunda coordenada θ se llama coordenada angular, el angulo θ positivo o negativo

el angulo θ es positivo en el sentido contrario a las agujas del reloj

el angulo θ es negativo en el sentido de las agujas del reloj

      3. Cambio de cartesianas a polares

Veamos las sencillas formulas de paso del sistema de coordenadas cartesianas al sistema polar

      4. Cambio de polares a cartesianas

Veamos las sencillas formulas de paso del sistema polar al sistema de coordenadas cartesianas

Las curvas planas tambien llamadas curvas en 2D, son las curvas mas sencillas de representar graficamente, debido a que se pueden representar en un plano.
En este apartado de curvas planas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas como las conicas y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, que en esta apartado es bidimensional, se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

La forma mas sencilla de expresion de una curva plana viene dada por su expresion o ecuacion explicita, que corresponde a una funcion y=f(x) real de variable real, siendo x∈R la variable real independiente .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva plana dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas planas bidimensionales , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva plana se define como el conjunto siguiente G(f) , subconjunto de RxR

                                      G(f)={(x,y)∈ RxR   /   y=f(x)∈R}

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva plana o bidimensional:

      1. La funcion explicita y=f(x) es una funcion que toma valores reales f(x)∈R siendo la variable real independiente x∈R

f:R ---> R

      2. La funcion implicita f(x,y)=0 esta definida por las dos variables reales e independientes independientes, x∈ R, y ∈ R

f:RxR ---> R

      3. La funcion parametrica x=x(t), y=y(t) esta definida por la la variable real independiente t∈R, verificando ( x(t),y(t))∈RxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R

      4. La funcion polar explicita ρ=ρ(ω) esta definida por la variable real independiente   ω∈R

ρ(ω):R ---> R   

      5. La funcion polar implicita ρ(ρ,ω)=0 esta definida por las dos variables reales independientes   t∈R ,   r∈R

ρ(ρ,ω):RxR ---> R   

      4. La funcion polar parmetrica ρ=ρ(t) ,ω=ω(t) esta definida por la variable real independiente   t∈R

ρ(t):R ---> R    ωt):R ---> R

Las curvas planas tambien llamadas curvas en 2D, son las curvas mas sencillas de representar graficamente, debido a que se pueden representar en un plano.
En este apartado de curvas planas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas como las conicas y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, que en esta apartado es bidimensional, se cumple que toda figura plana tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano bidimensional , dando lugar a una curva plana .

La forma mas sencilla de expresion de una curva plana viene dada por su expresion o ecuacion explicita, que corresponde a una funcion y=f(x) real de variable real, siendo x∈R la variable real independiente .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva plana dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas planas o bidimensionales , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva plana se define como el conjunto siguiente G(f) , subconjunto de RxR

                                      G(f)={(x,y)∈ RxR   /   y=f(x)∈R}

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva plana o bidimensional:

      1. La funcion explicita y=f(x) es una funcion que toma valores reales f(x)∈R siendo la variable real independiente x∈R

f:R ---> R

      2. La funcion implicita f(x,y)=0 esta definida por las dos variables reales e independientes independientes, x∈ R, y ∈ R

f:RxR ---> R

      3. La funcion parametrica x=x(t), y=y(t) esta definida por la la variable real independiente t∈R, verificando ( x(t),y(t))∈RxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R

      4. La funcion polar explicita ρ=ρ(ω) esta definida por la variable real independiente   ω∈R

ρ(ω):R ---> R   

      5. La funcion polar implicita ρ(ρ,ω)=0 esta definida por las dos variables reales independientes   t∈R ,   r∈R

ρ(ρ,ω):RxR ---> R   

      4. La funcion polar parmetrica ρ=ρ(t) ,ω=ω(t) esta definida por la variable real independiente   t∈R

ρ(t):R ---> R    ωt):R ---> R

Las curvas alabeadas tambien llamadas curvas en 3D, son obviamente mas dificiles de represntar graficamente, debido a que la representacion de una figura en 3D resulta siempre mas compleja.
En este apartado de curvas albeadas por supuesto estan tambien incluidas las curvas clasicas tridimensionales como las helices y las curvas mecanicas tan utilizadas en otros campos como la fisica y la tecnologia.

Se debe al genial matematico y filosofo frances, Rene Descartes el haber unificado en una sola displicina las dos ramas clasicas de la matematica de la antiguedad como son la Geometria y el Algebra , dando lugar a una nueva y fructifera rama de la matematica llamada Geometria Analitica.

Debido al genial y sencillo sistema de representacion de curvas inventado por Descartes, llamado sistema de coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, en este caso es tridimensional , se cumple que toda curva tridimensional tiene su ecuacion algebraica correspondiente y viceversa, dada una ecuacion o formula analitica se puede representar graficamente sobre un sistema cartesiano tridimensional , dando lugar a una curva alabeada o tridimensional.

La forma mas sencilla de expresion de una curva alabeada o tridimensional viene dada por sus ecuaciones implicitas , del tipo f(x,y,z)=0 , g(x,y,z)=0 cada una de ellas es una superficie cuya interseccion es la curva alabeada .

Hay otras formas mas complejas de expresar algebraicamente una curva alabeada dependiendo de la dificultad de su dibujo, cuanto mas compleja es la curva tridimensional mas compleja sera su expresion analitica evidentemente.

Evidentemente las aplicaciones informaticas actuales tipo DERIVE y otras similares, constituyen una buena herramienta para la representacion grafica de curvas alabeadas , pero se deberia ser capaz de dibujar cualquier curva tridimensional sin la ayuda de estas aplicaciones.

La grafica o grafo de una curva alabeada se define como el conjunto siguiente G(curva alabeada), subconjunto de RxRxR

                                      G(curva alabeada)={(x,y,z)∈ RxRxR   /   f(x,y,z)=0,  g(x,y,z)=0 }

Veamos las formas fundamentales de expresar una curva alabeada o tridimensional:

      1. Las ecuaciones implicitas f(x,y,z)=0 , g(x,y,z)=0 representan dos superficies cuya interseccion es la curva alabeada.

      2. Las ecuaciones implicitas f(x,y)=0 ,f(x,y)=0 representan dos cilindros cuya interseccion es la curva alabeada.

      3. Las ecuaciones parametricas x=x(t), y=y(t) ,z=z(t) siendo t∈R ,    ( x(t),y(t),z(t))∈RxRxR

x(t):R ---> R    y(t):R ---> R    z(t):R ---> R

Las curvas planas expresadas mediante una funcion o expresion explicita y=f(x) son las mas sencillas de estudiar y de representar graficamente , por tanto es conveniente efectuar un estudio sistematico de las mismas por lo que es necesario efectuar previamente una clasificacion de las mismas dependiendo de su formula matematica explicita.

Clasificacion de las funciones explicitas y=f(x)

        

        

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

   4. Definicion 4

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

   1. Definicion 1

   2. Definicion 2

   3. Definicion 3

Dos integrales impropias tienen igual caracter si y solo si ambas son simultaneamente o bien convergentes o bien divergentes o bien oscilantes.

      1. Metodos generales para el estudio de la convergencia

Los metodos generales se clasifican de la siguiente manera

       1.1    Metodo por descomposicion

       1.2    Metodo por cambio de variable

       1.3    Metodo por integracion por partes

      2. Criterio de Cauchy

      3. Criterio de convergencia absoluta

      4. Criterios de convergencia para funciones positivas

       4.1    Criterio de acotacion

       4.2    Criterios de comparacion

       4.2.1    Primer criterio

       4.2.2    Segundo criterio

       4.2.3    Tercer criterio

       4.2.4    Cuarto criterio

       5. Criterio integral

       6. Criterio de Abel

             1. Metodo por descomposicion

    Este metodo equivale a decir que la integral impropia de una suma o resta de integrales impropias convergentes es tambien una integral impropia convergente y que la integral impropia resultante es la suma o resta de las integrales impropias de partida.
Es decir la integral impropia se comporta algebraicamente como un operador lineal.

             2.    Metodo por cambio de variable

    Este metodo consiste en aplicar algun cambio de variable conveniente de forma que la integral impropia de la cual se esta analizando su convergencia se transforme por dicho cambio de variable en otra integral impropia mas sencilla para el posterior estudio de su convergencia.

             3.    Metodo de integracion por partes

    Este metodo consiste en aplicar el metodo de integracion por partes de forma conveniente, pero se ve algo complicado en su aplicacion práctica.

             1.  Integrales impropias de primera especie

             2.  Integrales impropias de segunda especie

             1. Definicion de absolutamente convergente

           

             2.    Definicion de condicionalmente convergente

          

             3.    Definicion de incondicionalmente convergente

          

             3.    Teoremas: Criterio de convergencia absoluta

          3.1   Toda integral impropia absolutamente convergente es convergente

          

           3.2   Incondicionalmente convergente equivale a absolutamente convergente

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1. Criterio de acotacion

           

             2.    Primer critero de comparacion

          

             3.    Segundo criterio de comparacion

          

             4.    Tercer y cuarto criterio de comparacion :   Criterio del cociente o del limite

          

            5.   Criterio de Pringshein

          

             1.  Criterio de convergencia integral

             

             1.  Criterio de convergencia de Abel

             

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01.- Poliedros. Elementos de un Poliedro

Un poliedro es, en el sentido dado por la geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. La palabra poliedro viene del griego clásico (polyedron), de la raíz (polys), "muchas" y de (edra), "base", "asiento", "cara".

Los poliedros se conciben como cuerpos tridimensionales, pero hay semejantes topológicos del concepto en cualquier dimensión. Así, el punto o vértice es el semejante topológico del poliedro en cero dimensiones, una arista o segmento lo es en 1 dimensión, el polígono para 2 dimensiones; y el polícoro el de cuatro dimensiones. Todas estas formas son conocidas como politopos, por lo que podemos definir un poliedro como un polítopo tridimensional.

Caras Son los poligonos planos que limitan al poliedro. Aristas Son los lados de lo poligonos planos que limitan al poliedro. Vertices Son los vértices de los polígonos planos o los puntos donde concurren las aristas Angulos diedros : Son los ángulos formados por dos caras consecutivos con una arista común Angulos Poliedros : Son los ángulos formados por tres o más caras con un vértice común. Pueden ser ángulos triédricos, tetraédricos, pentaédricos, etc. Diagonales Son los segmentos que unen dos vértices no situados en la misma cara Planos Diagonales Son los planos determinados por tres vértices no situados en la misma cara Desarrollo Es la figura plana obtenida al extender sobre un plano de forma ordenada y consecutiva todas las caras del poliedro Area Es la medida numerica finita , expresada en unidades de superficie de la suma finita de las áreas de todas las caras del poliedro. Formula del area: Es la expresion matematica para calcular el area del poliedro Volumen Es la medida numerica finita , expresada en unidades de volumen de la porcion finita de espacio limitada por todas las caras del poliedro Formula del volumen : Es la expresion matematica para calcular el volumen del poliedro

La clasificacion de los poliedros puede ser atendiendo a diversos puntos de vista, por este motivo existen diversas y numerosas clasificaciones que en ningun modo son excluyentes :

Denominación de los poliedros

Los poliedros son denominados de acuerdo a su número de caras. Su designación se basa en el griego clásico. Por ejemplo : tetraedro (4-caras), pentaedro (5 caras), hexaedro (6), heptaedro (7), ... icosaedro (20) - icosa es 20 en griego clásico -, etc.

Frecuentemente un poliedro se clasifica por una descripción del tipo de caras presentes en él. Si todas sus caras son iguales se les denomina poliedro regular. Por ejemplo, el dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal frente al dodecaedro rómbico.

Otras denominaciones comunes indican que alguna operación se ha efectuado en un poliedro más simple que lo ha transformado en el actual. Por ejemplo el cubo truncado, que semeja un hexaedro (cubo) con sus esquinas truncadas o recortadas. Tiene por lo tanto 14 caras, y en este caso no es regular ya que de sus caras, seis tienen forma de octógono regular y ocho de triángulo equilátero.

Criterios de clasificación de los poliedros

Los poliedros pueden ser clasificados en muchos grupos según la familia de donde provienen o de las características que los diferencian:

• Poliedros Convexos :Poliedro que verifica que cualquier par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo los une un segmento de recta también interno en el poliedro.


• Poliedros concavos :Poliedro que verifica por lo menos hay un par de puntos del espacio que estén dentro del cuerpo pero los une un segmento de recta que no esta dentro del cuerpo.


• Poliedro de caras regulares: cuando todas las caras del poliedro son polígonos regulares.


• Poliedro de caras uniformes: cuando todas las caras del poliedro son iguales.


• poliedro de aristas uniformes: cuando los pares de caras que se reúnen en cada arista son iguales.


• poliedro de vértices uniformes : cuando en todos los vértices del poliedro convergen el mismo número de caras y en el mismo orden.


• poliedro regular o regular y uniforme : cuando es de caras regulares, de caras uniformes de vértices uniformes y de aristas uniformes.


• Poliedro dual o conjugado :Poliedro dual o conjugado de un poliedro dado, es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las cara del otro poliedro dado.

Estos grupos no son excluyentes entre sí; es decir, un poliedro puede estar incluido en más de uno de ellos.

Familias de poliedros

Poliedros regulares

poliedro regular : es aquel que tiene los angulos diedros y poliedros iguales y las caras son poligonos regulares iguales
Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son polígonos regulares congruentes, que se juntan en la misma forma alrededor de cada vértice del polígono. Un poliedro regular es identificado por su símbolo de Schläfli de la forma {n, m}, donde n es el número de lados en una cara, y m,el número de caras que se encuentran en un vértice.

Los nueve poliedros regulares

Sólo existen un total de nueve poliedros regulares agrupados en dos familias diferentes:
poliedros regulares convexos: 5 convexos
poliedros regulares concavos: 4 concavos

Poliedros regulares convexos o solidos platonicos o solidos de platon

Existen cinco poliedros regulares convexos :llamados tambien solidos platonicos.
Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Tetraedro {3, 3}	Cubo {4, 3}	Octaedro {3, 4}	Dodecaedro {5, 3}	Icosaedro {3, 5}

Los cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón , quien maravillado por sus propiedades, asoció cada uno de ellos a un "elemento" primigenio de su filosofía (aire, agua, tierra y fuego). Curiosamente, asoció el dodecaedro al "quinto elemento" o ente espiritual de su teoría de la materia. En esta estructura de pensamiento muchos ven la génesis de la teoría molecular, pues muchos elementos cristalinos tienen una estructura atómica que obedece a la forma de tales poliedros.

Poliedros regulares no convexos o Solidos de Kepler-Poinsot

A parte de los cinco poliedros regulares convexos, existen otros cuatro poliedros regulares cóncavos , conocidos como Sólidos de Kepler-Poinsot:

Pequeño dodecaedro estrellado {5/2, 5}	Gran dodecaedro estrellado {5/2, 3}	Gran dodecaedro {5, 5/2}	Gran icosaedro {3, 5/2}

Sólidos platónicos

Los Sólidos platónicos o sólidos de Platón son poliedros regulares y convexos.
Sólo existen cinco de ellos: el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.
El nombre del grupo proviene del hecho de que los griegos adjudicaban a cada uno de estos cuerpos uno de los "elementos fundamentales": tierra, agua, aire y fuego, y el restante, al dodecaedro, la divinidad.
Los sólidos platónicos son el inicio del estudio de los poliedros; de estos se derivan los sólidos de Arquímedes y los de Kepler-Poinsot, que a su vez generan más familias.

Poliedros irregulares

Se dice que es un poliedro irregular aquel que tiene caras o ángulos desiguales.

Poliedros duales o conjugados

Poliedro dual o conjugado de un poliedro dado es el poliedro es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las cara del otro poliedro dado.
Propiedades de los poliedros duales

• El poliedro dual del dual es similar al original
• El dual de un poliedro con vértices equivalentes es otro con caras equivalentes
• El dual de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes
• los vértices del dual son los recíprocos de los planos de la cara del original
• las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original

Sólidos arquimedianos

Los sólidos arquimedianos o sólidos de Arquímedes son poliedros convexos de caras regulares y vértices uniformes, pero no de caras uniformes.
Fueron ampliamente estudiados por Arquímedes. Algunos se obtienen truncando los sólidos platónicos; son once: el Cuboctaedro, el Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, elIcosaedro truncado, el Rombicosidodecaedro y el Icosidodecaedro truncado.

Prismas y antiprismas

Los prismas y los antiprismas son los únicos poliedros convexos y uniformes restantes. Todos ellos fueron estudiados por Kepler, quien los clasificó. Los prismas y antiprismas son grupos infinitos.

Todos los prismas se construyen con dos caras paralelas llamadas directrices, que le dan el nombre al prisma, y una serie de paralelogramos, tantos como lados tenga la cara directriz. Por ejemplo, el prisma cuyas caras directrices son triangulares se llama prisma triangular y se compone de dos paralelogramos; tiene nueve aristas y seis vértices de orden 3 donde convergen siempre dos paralelogramos y un triángulo. Otro ejemplo sería el Prisma decagonal, que se compone de dos decágonos + diez paralelogramos; tiene 30 aristas y 20 vértices de orden 3.

Los antiprismas tienen una construcción parecida, dos caras paralelas y una serie de triángulos; el número de lados de las cara directriz multiplicado por dos; así, el antiprisma cuadrado se compone de dos cuadrados y ocho triángulos; tiene ocho vértices y 16 aristas.

Otras familias de poliedros

Sólidos de Johnson

Los solidos de Johnson son un grupo extenso que contiene los poliedros convexos de caras regulares restantes; sólo uno de ellos es uniforme y fueron clasificados y ampliamente estudiados por Norman Johnson.

Son en total 92 y entre ellos se enumeran:

• Pirámide triangular elongada.
• Rotunda pentagonal elongada.
• Girobifastigium.
• Girobicupola cuadrangular giroelongada, que es él único cuerpo de este grupo que sigue siendo uniforme.
• etc.

Este grupo consiste en los duales de los prismas y antiprismas, respectivamente; por ende, también es un grupo infinito. Son poliedros de caras uniformes pero no son de de caras regulares, ni de vértices uniformes, ni de aristas uniformes.

Sólidos de Catalán

los solidos de Catalan son trece solidos .Se obtienen logrando el dual de los sólidos de Arquímedes; el dual es básicamente el reemplazo de una cara por un vértice y viceversa.
Por ejemplo, el dual delicosaedro(20 caras y 12 vértices) es el (12 caras y 20 vértices) y el dual del dodecaedro es el icosaedro. No son de caras regulares y no todos son de caras uniformes.

Entre los sólidos de Catalán se encuentran el rombododecaedro, el triaquisoctaedro, el tetraquishexaedro, el icositetraedro deltoidal, el hexaquisoctaedro, el icositetraedro pentagonal, el triacontaedro rómbico, el triaquisicosaedro, el pentaquisdodecaedro, el hexecontaedro deltoidal, el hexaquisicosaedro y el hexecontaedro pentagonal. Trece en total.

Deltaedros

Se llama deltaedros a los cuerpos que sólo están formados por triángulos equiláteros; no constituyen un grupo excluyente de sólidos: del grupo de los Sólidos Platónicos se encuentran el Tetraedro, el Octaedro, el Icosaedro y del grupo de los Sólidos de Johnson están la Bipirámide triangular, la Bipirámide pentagonal, la Bipirámide cuadrada giroelongada, el Biesfenoide romo y el Prisma triangular triaumentado.

Los sólidos platónicos : son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.
Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia. También se conocen como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos.

Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.

Historia

Las propiedades de estos solidos platonicos son conocidas desde la antigüedad clásica, hay referencias a unas bolas neolíticas de piedra labrada encontradas en Escocia 1000 años antes de que Platón hiciera una descripción detallada de los mismos en Los elementos de Euclides. Se les llegó a atribuir incluso propiedades mágicas o mitológicas; Timeo de Locri, en el diálogo de Platón dice «El fuego está formado por tetraedros; el aire, de octaedros; el agua, de icosaedros; la tierra de cubos; y como aún es posible una quinta forma, Dios ha utilizado ésta, el dodecaedro pentagonal, para que sirva de límite al mundo» . Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes ( como Proclo ) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento. Otra evidencia sugiere que sólo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto , un matemático griego contemporáneo de Platón. En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.

Propiedades

1.- Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de vértices.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedrosque forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

2.- Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio ( centro de simetría ) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro. Radio inscrito "r"
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una tercera esfera circunscrita, que pasa por todos los vértices del poliedro.Radio circunscrito "R"

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

3.- Conjugación

Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas. El poliedro conjugado de un dodecaedro es un icosaedro, y viceversa; el de un cubo es un octaedro; y poliedro conjugado de un tetraedro es otro tetraedro.

Formula de Euler

El Teorema de poliedros de Euler, mas conocido como "formula de Euleer" enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más su número de vértices es siempre igual a su número de aristas más dos, es decir:

Tabla comparativa resumen de los solidos platonicos

Sólidos Platónicos	tetraedro	Hexaedro	Octaedro	Dodecaedro	Icosaedro
Desarrollo
Número de caras	4	6	8	12	20
Polígonos que forman las caras	Triángulos Equiláteros	Cuadrados	Triángulos Equiláteros	Pentágonos Regulares	Triángulos Equiláteros
Número de aristas	6	12	12	30	30
Número de vértices	4	8	6	20	12
Caras concurrentes en cada vértice	3	3	4	3	5
Vértices contenidos en cada cara	3	4	3	5	3
Grupo de simetría	Tetraédrico (Td)	Hexaédrico (Hh)	Octaédrico (Oh)	Icosaédrico (Lh)	Icosaédrico (Lh)
Poliedro conjugado	Tetraedro (autoconjugado)	Octaedro	Hexaedro, Cubo	Icosaedro	Dodecaedro
Símbolo de Schläfli	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}
Símbolo de Wythoff	3 | 2 3	3 | 2 4	4 | 2 3	3 | 2 5	5 | 2 3
Ángulo diedro	70.53° = arccos(1/3)	90°	109.47° = arccos(-1/3)	116.56°	138.189685°
Radio externo
Radio interno

Poliedros regulares en la naturaleza

En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del virus del sida conocido como VIH es un icosaedro regular .

Curiosidades

Los dados de rol utilizados en algunos juegos de rol tienen las formas de los sólidos platónicos: dado de veinte (D20), dado de doce (D12), dado de diez (D10, aunque no es un sólido platónico; es un sólido formado por dos pirámides pentagonales unidas por su base), dado de ocho (D8), dado de seis (D6) y dado de cuatro (D4). Cada dado se utiliza para uno o más propósitos particulares dependiendo de cada juego.

Un sólido de Kepler (también llamado sólido de Kepler-Poinsot) es un poliedro regular no convexo, cuyas caras son todas polígonos regulares y que tiene en todos sus vértices el mismo número de caras que se encuentran ( compárese con los sólidos platónicos ).

Las caras están solo parcialmente en la superficie del sólido, y las partes expuestas están sólo conectadas en puntos (si están conectadas de algún modo). Si las partes se cuentan como caras separadas, el sólido deja de ser regular. Vemos los sólidos de Kepler-Poinsot con sus símbolos de Schläfli.

Un sólido de Kepler cubre su esfera circunscrita más de una vez, con los centros de las caras como puntos direccionales en los sólidos con caras en forma de pentagrama, mientras que en los otros son los vértices los que cumplen esa función. Por esta razón, no son necesariamente equivalentes topológicos de la esfera como lo son los sólidos platónicos, y en particular la característica de Euler V - E + F = 2 se verifica solamente para el solido Gran dodecaedro estrellado y para el Gran icosaedro.

Esto dependerá de cómo observemos el poliedro. Considérese, por ejemplo, el pequeño dodecaedro estrellado. Consiste de un dodecaedrocon una pirámide pentagonal en cada una de sus 12 caras. En consecuencia, las 12 caras se extienden a pentagramas con el pentágono central dentro del sólido. La parte externa de cada cara consiste de cinco triángulos conectados por sólo cinco puntos. Si las contamos separadamente, hay 60 caras (pero estas son triángulos isósceles, no polígonos regulares). De modo similar, cada lado puede ser contado como tres, pero entonces los habrá de dos tipos. Igualmente, con los "cinco puntos" antes mencionados: en total habrá 20 puntos que pueden contarse como vértices, por lo que tendremos un total de 32 vértices (otra vez, de dos tipos). Ahora la ecuación de Euler se verifica: 60 - 90 + 32 = 2.

Historia

Los sólidos de Kepler fueron definidos por Johannes Kepler en 1619, cuando notó que los dodecaedros estrellados (tanto el grande como el pequeño) se componían de dodecaedros "ocultos" (con caras pentagonales) que tienen caras compuestas de triángulos, tomando la apariencia de estrellas estilizadas. En realidad, Wenzel Jamnitzer halló el gran dodecaedro estrellado en el siglo XVI, y Paolo Uccello descubrió y dibujó el pequeño dodecaedro estrellado en el siglo XV. La contribución de Kepler fue reconocer que cumplían con la definición de sólidos regulares, aunque fueran cóncavos en lugar de convexos como los tradicionales sólidos platónicos. Los otros dos, el gran icosaedro y el gran dodecaedro, fueron descritos por Louis Poinsot en 1809, razón por la que en alguna literatura aparecen como Sólidos de Poinsot.

Tipos

Hay cuatro sólidos de Kepler distintos:

Tabla comparativa resumen de los solidos de Kepler

Sólidos de Kepler-Poinsot
Nombre		Imagen	Caras		Aristas	Vértices		Simetría
K1	Pequeño dodecaedro estrellado	Animacion girando	12	12 × pg	30	12	12 × 5/25	Ih
K2	Gran dodecaedro estrellado	Animacion girando	12	12 × pg	30	20	20 × 5/23	Ih
K3	Gran icosaedro	Animacion girando	20	20 × te	30	12	12 × 35/2	Ih
K4	Gran dodecaedro	Animacion girando	12	12 × pr	30	12	12 × 55/2	Ih
pg = pentagramas; pr = pentágonos regulares ; te = triángulos equiláteros

Los dos primeros son estrellamientos, es decir, sus caras son cóncavas. Los otros dos tienen caras convexas, pero cada par de caras que se encuentra en un vértice de hecho lo hace en dos.

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